​什么是复数？复数和虚数是什么关系？如何表达一个复数？

什么是复数？复数和虚数是什么关系？如何表达一个复数？

复数是对一个数系的称呼，它包括实数和虚数。

实数涵盖有理数和无理数。

因为我们可以在实数轴上找到它们的准确位置，所以称他们为“real number”。

如下图实数轴中的-1，2，3：

虚数是指那些在实数轴上找不到的数，被称为“imaginary number”，它是为了解决x2=-1无解这一问题而创造、定义出来的数。

在数学中，规定“i”为虚数单位，且i 2=-1。

为什么定义“i”为虚数单位呢？其实是为了让虚数在数学运算和表达体系中，和实数的表达方式相契合。

毕竟无论是虚数还是实数，都属于数的范畴，那么它们都应该遵循我们惯常的表达方式。

按照实数可以在实数轴上找到准确位置的这种思维，虚数也应该能在虚数轴上找到它们的位置，如图中2i、3i等：

这样，实数轴上的单位刻度是实数“1”，虚数轴上的单位刻度是“i”，

我们就可以把实数轴和虚数轴合成为一个复平面，从而表达一个复数。

如图点z就表达一个复数z=3+2i：

很明显，纯粹的实数只能在实数轴上找到准确位置，纯粹的虚数也只能在虚数轴上找到它准确的位置，而复数，既包含实数部分又包含虚数部分，就可以在复平面上找到它的准确位置。

习惯上，我们把只能在虚数轴上表达的虚数称为“纯虚数”，它们是在虚数轴上表达的点，如2i，5i等等，“i”前面的系数均为实数，且不为0。

那些既包含实数，又包含虚数的复平面上的点，被称为一般“虚数”，如2+3i，1-2i等等。

在数学概念里，我们把形如a+bi这样的数称为“复数”，其中的a,b均为实数，一般用小写字母z表示。

当实数a=0,b≠0时，z=bi，是纯虚数。

当实数a≠0,b=0时，z=a，是纯实数。

当a≠0，b≠0时，z=a+bi，是一般虚数。

也就是说，纯实数、纯虚数、一般虚数都是复数，都可以用复平面上的点来表示。

为什么要建立一个复平面来表达复数呢？原因还是因为要直观，毕竟，不直观的虚数，只会让一部分喜欢抽象的人理解，但会让大部分人抓狂，通过复平面把它直观表达出来，就能被大多数人认知和接受，也正因为复平面的建立，复数才真正走进落落大方地走进数学课堂。

好，现在就可以把一个复数大大方方地介绍给大家了：

一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数。

复数一般用小写字母z表示，即：

其中，a称为z的“实部”，b称为z的“虚部”，“i”称为“虚数单位”。