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​什么是复数?复数和虚数是什么关系?如何表达一个复数?

2025-12-30 18:50 来源:喜雅生活 点击:

什么是复数?复数和虚数是什么关系?如何表达一个复数?

复数是对一个数系的称呼,它包括实数和虚数。

实数涵盖有理数和无理数。

因为我们可以在实数轴上找到它们的准确位置,所以称他们为“real number”。

如下图实数轴中的-1,2,3:

虚数是指那些在实数轴上找不到的数,被称为“imaginary number”,它是为了解决x2=-1无解这一问题而创造、定义出来的数。

在数学中,规定“i”为虚数单位,且i 2=-1。

为什么定义“i”为虚数单位呢?其实是为了让虚数在数学运算和表达体系中,和实数的表达方式相契合。

毕竟无论是虚数还是实数,都属于数的范畴,那么它们都应该遵循我们惯常的表达方式。

按照实数可以在实数轴上找到准确位置的这种思维,虚数也应该能在虚数轴上找到它们的位置,如图中2i、3i等:

这样,实数轴上的单位刻度是实数“1”,虚数轴上的单位刻度是“i”,

我们就可以把实数轴和虚数轴合成为一个复平面,从而表达一个复数。

如图点z就表达一个复数z=3+2i:

很明显,纯粹的实数只能在实数轴上找到准确位置,纯粹的虚数也只能在虚数轴上找到它准确的位置,而复数,既包含实数部分又包含虚数部分,就可以在复平面上找到它的准确位置。

习惯上,我们把只能在虚数轴上表达的虚数称为“纯虚数”,它们是在虚数轴上表达的点,如2i,5i等等,“i”前面的系数均为实数,且不为0。

那些既包含实数,又包含虚数的复平面上的点,被称为一般“虚数”,如2+3i,1-2i等等。

在数学概念里,我们把形如a+bi这样的数称为“复数”,其中的a,b均为实数,一般用小写字母z表示。

当实数a=0,b≠0时,z=bi,是纯虚数。

当实数a≠0,b=0时,z=a,是纯实数。

当a≠0,b≠0时,z=a+bi,是一般虚数。

也就是说,纯实数、纯虚数、一般虚数都是复数,都可以用复平面上的点来表示。

为什么要建立一个复平面来表达复数呢?原因还是因为要直观,毕竟,不直观的虚数,只会让一部分喜欢抽象的人理解,但会让大部分人抓狂,通过复平面把它直观表达出来,就能被大多数人认知和接受,也正因为复平面的建立,复数才真正走进落落大方地走进数学课堂。

好,现在就可以把一个复数大大方方地介绍给大家了:

一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数。

复数一般用小写字母z表示,即:

其中,a称为z的“实部”,b称为z的“虚部”,“i”称为“虚数单位”。